pq-Formel oder Mitternachtsformel?
Beide Formeln lösen dieselben Gleichungen. Die pq-Formel x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) setzt die Normalform voraus, also a = 1. Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel) x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a funktioniert für jedes a ≠ 0.
Welche Formel gelehrt wird, hängt von Bundesland, Schulform und Lehrkraft ab; in Baden-Württemberg lernen Gymnasien zum Beispiel meist die Mitternachtsformel, Realschulen die pq-Formel. Wer die pq-Formel nutzen will, teilt die Gleichung zuerst durch a.
Die Diskriminante
- D > 0: zwei verschiedene Lösungen – die Parabel schneidet die x-Achse zweimal
- D = 0: eine doppelte Lösung – der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse
- D < 0: keine reelle Lösung – die Parabel berührt die x-Achse nicht
Probe mit dem Satz von Vieta
Für x² + px + q = 0 gilt: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Beispiel x² − 5x + 6 = 0: Die Lösungen 2 und 3 ergeben 2 + 3 = 5 = −p und 2 · 3 = 6 = q.
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Häufige Fragen
Warum heißt sie Mitternachtsformel?
Weil man sie – so der Spruch – auch dann aufsagen können soll, wenn man um Mitternacht geweckt wird.
Wie bringe ich eine Gleichung in die Normalform?
Alles auf eine Seite bringen und durch den Faktor vor x² teilen: 2x² − 8x + 6 = 0 wird zu x² − 4x + 3 = 0, also p = −4 und q = 3.
Wie finde ich den Scheitelpunkt?
Die x-Koordinate ist −b/2a (bei der Normalform −p/2); diesen Wert in die Funktion einsetzen ergibt die y-Koordinate.