So funktioniert das Gauß-Verfahren
Man formt das Gleichungssystem in Stufenform um: Mit Gleichung I wird x aus den anderen Gleichungen eliminiert, dann mit Gleichung II das y aus Gleichung III. Die letzte Gleichung enthält nur noch z; durch Rückwärtseinsetzen folgen y und x.
Erlaubte Umformungen: Gleichungen vertauschen, mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren.
Andere Lösungsverfahren
- Einsetzungsverfahren: eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen.
- Gleichsetzungsverfahren: beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen.
- Additionsverfahren: Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt – das Gauß-Verfahren ist die systematische Form davon.
Keine oder unendlich viele Lösungen
Entsteht beim Umformen eine Zeile 0 = 5, widersprechen sich die Gleichungen: keine Lösung. Entsteht 0 = 0, ist eine Gleichung überflüssig: unendlich viele Lösungen.
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Häufige Fragen
Wie viele Gleichungen brauche ich?
Für eine eindeutige Lösung so viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte: zwei für x und y, drei für x, y und z.
Was bedeutet die Schreibweise II − 2 · I?
Von Gleichung II wird das Zweifache von Gleichung I abgezogen, damit eine Variable wegfällt.
Wie mache ich die Probe?
Die gefundenen Werte in jede Ausgangsgleichung einsetzen; beide Seiten müssen übereinstimmen.