ggT und kgV über Primfaktoren
Beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen: 84 = 2² · 3 · 7 und 36 = 2² · 3². Für den ggT nimmt man die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten (2² · 3 = 12), für das kgV alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten (2² · 3² · 7 = 252).
Euklidischer Algorithmus
Die größere Zahl wird durch die kleinere geteilt, dann der Divisor durch den Rest – so lange, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich 0 ist der ggT: 84 = 2 · 36 + 12, 36 = 3 · 12 + 0, also ggT = 12. Das kgV folgt aus a · b : ggT = 84 · 36 : 12 = 252.
Wofür braucht man ggT und kgV?
- ggT: Brüche vollständig kürzen – 36/84 geteilt durch 12 ergibt 3/7.
- kgV: Hauptnenner beim Addieren von Brüchen finden.
- Alltag: Fährt ein Bus alle 12 und ein anderer alle 18 Minuten, treffen sie sich nach kgV(12, 18) = 36 Minuten wieder.
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Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?
Der ggT ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind; das kgV ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.
Wie hängen ggT und kgV zusammen?
Für zwei natürliche Zahlen gilt: ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b.
Was bedeutet ggT = 1?
Die Zahlen sind teilerfremd, etwa 8 und 15. Ihr kgV ist dann einfach ihr Produkt.