Geometrik dizi nedir?
Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın (ortak oran, r) sabit olduğu bir sayı dizisidir. Genel terimi aₙ = a₁ × r^(n-1) formülüyle ifade edilir; burada a₁ ilk terim, r ortak oran, n ise terimin sırasıdır.
İlk n teriminin toplamı
Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı, r ≠ 1 için Sₙ = a₁ × (rⁿ - 1)/(r - 1) formülüyle hesaplanır. r = 1 özel durumunda tüm terimler birbirine eşit olduğu için toplam basitçe a₁ × n'dir.
Satranç tahtası efsanesi: üstel büyümenin gücü
Geometrik dizilerin ne kadar hızlı büyüyebileceğini gösteren en ünlü örneklerden biri, satranç oyununun icadına dair efsanedir: hükümdar, oyunu icat eden bilgeye ödül olarak satranç tahtasının ilk karesine 1 buğday tanesi, ikinci kareye 2, üçüncü kareye 4 (her karede bir öncekinin 2 katı) koymayı kabul eder. Kulağa mütevazı gelen bu istek, 64. karede toplamda 2⁶⁴-1'e (yaklaşık 18,4 kentilyon) tane buğday tanesine denk gelir — bu, dünyanın o günkü tüm buğday üretiminden kat kat fazladır. Bu hikaye, geometrik dizilerin (üstel büyümenin) neden aritmetik dizilerden çok daha hızlı büyüdüğünün klasik bir örneğidir.
Geometrik dizi gerçek hayatta nerede kullanılır?
Bileşik faizli bir yatırımın büyümesi, bir bakterinin ikiye bölünerek çoğalması, radyoaktif bir maddenin yarı ömürle azalması ve bir topun her sekişinde belirli bir oranda enerji kaybederek daha az zıplaması gibi birçok gerçek olay, geometrik dizi/üstel fonksiyonlarla modellenir.
Sık Sorulan Sorular
Geometrik dizi nedir?
Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın (ortak oran, r) her zaman sabit olduğu sayı dizisidir. Örneğin 2, 6, 18, 54 dizisinde her terim bir öncekinin 3 katıdır (r=3).
n. terim formülü nedir?
aₙ = a₁ × r^(n-1) formülüyle hesaplanır; burada a₁ ilk terimi, r ortak oranı, n ise bulunmak istenen terimin sırasını ifade eder.
İlk n teriminin toplamı nasıl bulunur?
r ≠ 1 olduğunda Sₙ = a₁ × (rⁿ - 1)/(r - 1) formülüyle hesaplanır. r = 1 olduğunda (tüm terimler eşit olduğunda) ise toplam basitçe Sₙ = a₁ × n'dir.
İlgili araçlar
Sabit farkla artan/azalan diziler için Aritmetik Dizi Hesaplama, üslü sayı hesaplamaları için Üslü Sayılar Hesaplama sayfasına bakabilirsin.
Kaynaklar
Geometrik dizi tanımı ve formülleri standart ortaokul, lise ve AYT matematik müfredatına dayanır.