Aritmetik dizi nedir?
Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın (ortak fark, d) sabit olduğu bir sayı dizisidir. Genel terimi aₙ = a₁ + (n-1) × d formülüyle ifade edilir; burada a₁ ilk terim, d ortak fark, n ise terimin sırasıdır.
İlk n teriminin toplamı
Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) formülüyle hesaplanır. Bu formül, dizinin ilk ve son teriminin ortalamasının terim sayısıyla çarpılmasına dayanır — aritmetik dizide baştan ve sondan eşleştirilen her çiftin toplamı (a₁+aₙ, a₂+aₙ₋₁, ...) her zaman aynıdır.
Genç Gauss'un ünlü hikayesi
Bu toplam formülünün keşfine dair en ünlü anekdot, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss ile ilgilidir: rivayete göre öğretmeni sınıfı meşgul etmek için öğrencilerden 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını istemiş; küçük Gauss saniyeler içinde sayıları 1+100, 2+99, 3+98 şeklinde eşleştirerek her çiftin 101 ettiğini fark etmiş ve 50 × 101 = 5050 sonucuna anında ulaşmıştır. Bu, tam olarak Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) formülünün mantığıdır.
Aritmetik dizi gerçek hayatta nerede kullanılır?
Aritmetik diziler, sabit bir miktarın düzenli aralıklarla arttığı/azaldığı birçok gerçek durumu modellemek için kullanılır: sabit bir zamlama ile artan kira ödemeleri, bir stadyumdaki koltuk sıralarının düzenli artan sayısı, veya sabit bir hızda azalan bir yakıt deposu bu tür modellemeye örnektir.
Sık Sorulan Sorular
Aritmetik dizi nedir?
Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın (ortak fark, d) her zaman sabit olduğu sayı dizisidir. Örneğin 3, 7, 11, 15, 19 dizisinde her terim bir öncekinden 4 fazladır (d=4).
n. terim formülü nedir?
aₙ = a₁ + (n-1) × d formülüyle hesaplanır; burada a₁ ilk terimi, d ortak farkı, n ise bulunmak istenen terimin sırasını ifade eder.
İlk n teriminin toplamı nasıl bulunur?
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) formülüyle hesaplanır. Bu formül, ilk ve son terimin ortalamasının, terim sayısıyla çarpılmasına dayanır — çünkü aritmetik dizide terimler eşit aralıklarla arttığı için baştan ve sondan eşleştirilen çiftlerin toplamı hep aynıdır.
İlgili araçlar
Sabit oranla çarpılarak artan/azalan diziler için Geometrik Dizi Hesaplama sayfasına bakabilirsin.
Kaynaklar
Aritmetik dizi tanımı ve formülleri standart ortaokul, lise ve AYT matematik müfredatına dayanır.